Gauge theory and topological quantum matter

Als um zwei Pole angeordnet könnte man die Sommerschule sehen, die im September knapp 80 Teilnehmende nach Bad Honnef zog. Zum einen wurde Grundsätzliches diskutiert: Wie steht es um die Eichinvarianz des Elektromagnetismus, wenn ein Supraleiter von seinem Normalzustand in seine geordnete Phase übergeht? So formuliert, wird wohl niemand widersprechen, dass es dem Elektromagnetismus egal sein muss, ob es Supraleiter gibt oder nicht. Was passiert aber in einem solchen? Jörg Schmalian zeigte, dass die Symmetrie globaler Phasenrotation wie in einer ungeladenen Supraflüssigkeit gebrochen wird. Dass dieser Übergang nicht durch einen lokalen Ordnungsparameter charakterisiert wird, kann den Ausgangspunkt für eine Reinterpretation der Supraleitung im Kontext der topologischen Ordnung bilden. Noch grundlegender war Martin Zirnbauers Einführung in die SU(2)-Eichinvarianz der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Ein jeder ist frei, sich die Basis auszusuchen, in der ein gegebener Vektor entwickelt wird. Dies gilt auch für die Spinwellenfunktion des Elektrons, und so kommt man zur lokalen SU(2)-Invarianz.

Um auch die Experten zu fordern, wurden zudem neuste Ansätze vorgestellt. So skizzierte Peter Teichner die Klassifikation gewisser topologischer Feldtheorien, von denen vermutet wird, dass sie die Grundzustände wechselwirkender topologischer Isolatoren und Supraleiter beschreiben. Hier gelang eine vollständige und systematische Klassifikation, die in der Physikliteratur bis dahin eher auf einer Fall-zu-Fall-Basis erfolgte. Allerdings sollte man von Hinweisen auf diesen Schulterschluss zwischen algebraischer Topologie und Materialwissenschaft sprechen, da der Zusammenhang meist nur heuristisch verstanden wird.

Etwas konkreter ist die Verbindung in Quanten-Hall-Systemen, wie Jürg Fröhlich darlegte. Dass deren Niedrigenergiedynamik nämlich von topologischen Feldtheorien beschrieben wird, ist zwar nicht bewiesen, aber doch berühmt und getestet. Jürg Fröhlich beendete die Sommerschule mit dem Appell, über die Auswirkungen der eigenen Forschung auf die Gesellschaft nachzudenken.

Lorenz Mayer, U Köln